Initiation à la topologie générale niveau L3 PDF

La collection Mathématiques à lUniversité se propose de mettre à la disposition des étudiants de troisième, quatrième et cinquième années détudes supérieures en mathématiques des ouvrages couvrant lessentiel des programmes actuels des universités françaises. Certains de ces ouvrages pourront être utiles aussi aux étudiants qui préparent le CAPES ou lagrégation, ainsi quaux élèves des grandes écoles. Nous avons voulu rendre ces livres accessibles à tous : les sujets traités sont présentés de manière simple et progressive, tout en respectant scrupuleusement la rigueur mathématique. Chaque volume comporte un exposé du cours avec des démonstrations détaillées de tous les résultats essentiels et de nombreux exercices. Les auteurs de ces ouvrages ont tous une grande expérience de lenseignement des mathématiques au niveau supérieur. Ce livre est issu dun cours de Topologie générale qui a été enseigné pendant plusieurs années en Licence de Mathématiques à lUniversité des Sciences et Techniques du Languedoc à Montpellier. Il est plus précisément adapté à la formation de futurs professeurs de mathématiques dans lenseignement secondaire. Nous nous sommes efforcés, non seulement dexposer les principaux concepts de la Topologie générale, mais encore de mettre leurs rôles en relation et de classer les grandes idées qui ont présidé à leur élaboration. Nous avons par exemple cherché à distinguer les concepts purement topologiques de ceux qui relevaient de la structure uniforme des espaces métriques, ou encore de ceux pour lesquels la compatibilité de la métrique avec une structure despace vectoriel jouait un rôle essentiel et qui faisaient donc explicitement intervenir une structure despace normé.Nous nous sommes également attachés à hiérarchiser les énoncés afin de permettre au lecteur de bien distinguer les résultats vraiment profonds de ceux qui nétaient que des étapes intermédiaires dans la démonstration de théorèmes plus significatifs.

D´efinition 1.1.3 Soient τ,τ′ deux topologies d´efinies sur un ensemble X. On dit que τ est plus faible (ou moins fine) que τ′ si tout ouvert de τ est un ouvert de τ′. Remarque 1.1.4 Soit (X,τ) un espace topologique et on note τ′ la topologie discr`ete, c’est-a`-dire la topologie telle que tout sous-ensemble de X est ouvert. Examen de Topologie - corrigé